Великая математика. Чтение взрослой дочери
познавательные книги, энциклопедии14 марта в день числа пи наконец-то подробно расскажу про книгу, про которую нужно уже было давно рассказать - «Великая математика».
В книге собраны основные вехи в развитии математики и интересные факты и объекты - от самой древности до современных открытий. Эту книгу можно открывать на любой странице, читать статью, а затем зарываться в интернет или близлежащие книжки, чтобы найти что-то еще и еще по этой теме.
Но тут нужно понимать, что информация в статьях подана кратко, для удобства есть еще ссылки после статьи, иногда в тексте фигурируют математические термины, а некоторые статьи рассчитаны на серьезное понимание предмета. Но тем не менее, книга увлекает. И на мой взгляд она должна быть в каждом классе математики, чтобы любой мог открыть, почитать, впечатлиться. Про учителей математики я вообще не говорю. Мне кажется, что каждый учитель математики средних и старших классов должен сдать экзамен по этой книге) потому что прочитав ее, математику можно рассказывать на порядок интереснее. И показывать, что развитие математики как науки не остановилось когда-то там, она развивается и развивается.
Только глядя на суперобложку можно уже рассказать многое. На ней куча цифр - собственно это всё - числа, начиная с единицы в порядке возрастания. И среди них цветом выделены простые.
Тема простых чисел с древности интересовала ученых. Конечное ли их число или бесконечное, существует ли самое большое простое число, а когда появились компьютеры, простые числа стали представлять особенный интерес для шифрования данных. Еще Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много, а наибольшее известное просто число открыто 7 декабря 2018 года. Оно содержит 24 862 048 десятичных цифр; в книге с записью этого числа было бы около девяти тысяч страниц. Предыдущее самое большое известное простое число, открытое в декабре 2017 года, было на 1 612 623 знака меньше. А за нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр Фонд электронных рубежей в США назначил денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов.
А внутри еще целая куча всего: каждый разворот - это статья на какую-нибудь тему и картинка к статье.
Статьи про многогранники и платоновы тела. В школе мне в руки попалась книга про многогранники, и я некоторое время клеила всякие разные многогранники. Меня прям завораживала эта геометрия линий.
Статья про ноль.
Ноль - удивительное число в математике. Человечество долго шло к необходимости введения такого числа.
Вообще история возникновения ноля - это история, достойная отдельной книги.
Которая, кстати, уже написана) Чарльз Сейфе написал отличный научпоп «Ноль. Биография опасной идеи». Начинается книга с истории про то, что, патрулируя побережье Вирджинии, невероятно дорогой ракетный крейсер "Йорктаун" неожиданно остановился, как будто в него попала мощная торпеда. А оказалось, что программа, управляющая двигателями, попыталась поделить на ноль - программисты не предусмотрели необходимость защиты от нуля. Крейсер кое-как дотянули до порта и перепрограммировали двигатели. Книга читается очень легко, написана с юмором, например: «Брахмагупта пытался выяснить, что такое 0/0 и 1/0, но ему это не удалось. В основном, он махал руками и надеялся, что проблема сама собой исчезнет».
В общем, советую почитать, книга замечательна )
Закон Бенфорда - очень интересная штука. В упрощенном смысле он гласит, что маленьких объектов существенно больше, чем больших) а вообще он про частоту встречаемости 1 и других цифр в числах. И с его помощью можно раскрывать мошенничества в бухгалтерском и налоговом учете: если частота цифр не совпадает с теоретической, можно говорить о манипулировании отчетностями.
Теорему о волосатом шаре мы проходили на втором курсе математического анализа. Только у нас она называлась теоремой о причесывании ежа) согласно этой теореме как бы ты ни причесывал ежа (или волосатый шар) одна волосинка будет торчать (ну или на месте этой волосинки будет проплешина, если шар причесался гладко). Еще у нас в курсе была лемма маляра и лемма о двух милиционерах.
Теорема Гёделя о неполноте. Когда мы ее проходили на математической логике, она меня не слишком впечатлила. Я прониклась только потом: по этой теореме какой бы ни был набор первоначальных аксиом, всегда найдется утверждение, которое невозможно доказать или опровергнуть в этой системе аксиом. У этой теоремы интересная юридическая интерпретация: какой бы ни был свод законов, всегда найдется ситуация, которую по этим законам невозможно будет классифицировать.
Про парадокс дней рождений я всегда рассказываю на своих семинарах по теории вероятностей. Сначала мы находим вероятность того, что в группе из нескольких человек хотя бы у двоих совпадают дни рождения. А потом обсуждаем, что произойдет с этой вероятностью, если количество человек в группе увеличивать. Понятно, что если группу увеличить до 367 человек (ну вдруг найдется уникум, родившийся 29 февраля), то эта вероятность будет 100%. Но оказывается, что если в группе всего 23 человека, эта вероятность уже становится больше 50%, а для 57 человек - превышает 99%.
Ну и недавнее открытие - решение игры в шашки. В 2007 году доказали, что при правильной стратегии обоих игроков, шашки (как и крестики-нолики) - игра вничью. Шахматы и го пока просчитать не удается - требует слишком большого количества времени и даже существующие суперкомпьютеры с этим не могут справиться.
Еще здесь есть и формула Пика, которую так любят школьники, когда в 11 классе на ЕГЭ при помощи нее находят площадь геометрической фигуры на клетчатой бумаге, а учителя подают её как математический фокус или лайфхак)
есть классическая задача про количество зернышек пшеницы на шахматной доске,
статья про филдсовскую премию (аналог нобелевской премии в математике),
задача о таутохроне (куда бы не поместили тяжелое тело на этой дуге, горизонтали оно достигнет за одно и то же время, можно посмотреть гифку на странице Википедии про циклоиду.
Статьи про Софью Ковалевскую,
Алана Тьюринга
и Джона Нэша.
Про них сложно говорить на уроках математики, потому что это скорее университетский материал, но зато можно порекомендовать вместе посмотреть фильмы про Тьюринга и про Нэша - «Игра в имитацию» и «Игры разума».
Кстати, в книге есть статья про сериал «4исла». Давно собираюсь его посмотреть, но все никак руки не доходят.
Ну и вообще очень-очень много всего, перечислять содержание не буду, но книга охватывает очень разные аспекты математики и это очень приятно.
Как вероятностника меня, конечно, очень порадовали статьи, касающиеся теории вероятностей и математической статистики, например, статья про закон больших чисел, теорему Байеса или про критерий хи-квадрат. Правда, я бы привела другие более яркие примеры их использования. При помощи закона больших чисел измеряют популяции животных, например, слонов на определенной территории. Для этого отлавливают нескольких слонов, скажем пять, помечают их как-нибудь и выпускают. А затем снова вылавливают несколько животных, например, десять слонов, среди которых оказалось двое помеченных, и считают долю помеченных слонов среди отловленных (в нашем случае, доля равна 2/10=0,2). И эта посчитанная доля по закону больших чисел приблизительна равна доле всех помеченных слонов во всей популяции, т.е. 2/10=5/общее число слонов. И решив пропорцию получим, что на нашей территории обитает 25 слонов.
Теорема Байеса. Не самый удачный пример на мой взгляд в книге. Мне больше нравится задача, которую мы тоже всегда решаем на семинарах по вероятности: пусть существует заболевание с частотой распространения среди населения 0,001 и метод диагностического обследования, который с вероятностью 0,9 выявляет больного, но при этом имеет вероятность 0,01 ложноположительного результата - ошибочного выявления заболевания у здорового человека. Найти вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании. Так вот при помощи теоремы Байеса эта вероятность находится, и она равна 91,7%. Это означает, что 91,7 % людей, у которых обследование показало результат «болен», на самом деле здоровые люди. Причина такого результата в том, что по условию задачи вероятность ложноположительного результата хоть и мала, но на порядок больше доли больных в обследуемой группе людей.
А для критерия хи-квадрат есть чудесный исторический пример. Во время второй мировой войны в Лондоне ходили слухи, что немцы изобрели технологию, которая позволяет наводить сбрасываемые бомбы на стратегически важные объекты. Для того, чтобы проверить эти слухи, математики расчертили Лондон на квадраты, посчитали количество попаданий бомб в каждый квадрат. И при помощи критерия хи-квадрат подтвердили гипотезу о том, что никакая территория не имела приоритета при артобстреле, т.е. бомбы падали случайно, приблизительно с равной вероятностью в каждый квадрат.
Ну и, несмотря на то, что я проучилась в физико-математической школе, а затем на мехмате в НГУ, тем не менее, что в школе, что в университете история математики и математиков не особо освещается. Необходимо самостоятельно собирать почти по крупицам эту информацию, радуясь знакомым фамилиям, которые ты знаешь в основном по теоремам. А на самом деле это были живые люди, которые жили наукой. И в этой книге собрано многое, что позволит школьнику, или студенту, или даже родителю осознать, что математика - это не только дроби, логарифмы и занудные алгебраические преобразования, она разная и интересная.
Клиффорд Пиковер - Великая математика. От Пифагора до 57-мерных объектов.
Можно посмотреть и отложить на Лабиринте, книга там в статусе "ожидается".
Чарльз Сейфе - Ноль. Биография опасной идеи
